2B - Matemática

Aula 1 - Lógica, Matemática e Linguagem Cotidiana I


O Professor inicia o curso mostrando a importância da matemática na formação das pessoas, pois ela é caracterizada como uma linguagem envolvendo técnicas e conteúdos que devem ser formuladas por ideias fundamentais.
A linguagem matemática desenvolve o raciocínio lógico juntamente com a língua materna. Mas a verdadeira formulação do pensamento lógico se dá com a articulação das proposições, argumentos e problemas. Entrelaçando esses três temas somos capazes de resolver sentenças elaboradas pela linguagem cotidiana. As sentenças declarativas trazem resultados exatos como verdadeiro ou falso, dando ideia da precisão rigorosa que a matemática traz para a resolução dos problemas.
Ainda foi apresentada uma situação problema para enfatizar a relação da matemática com a linguagem cotidiana:
P1 – Situação Problema: Um terreno de 2000m2 deve ser dividido entre três pessoas. Uma delas deve receber tanto quanto as outras duas juntas. Qual a área da maior parte?

2000m2
X
Y
z
Assim, temos que: x + y + z = 2000

O enunciado também nos informa que uma das partes (por exemplo “Z”), deve ser a soma das outras duas, ou seja, z = x + y. Onde deduzindo, podemos chegar a conclusão que z + z = 2000 e que
2* z = 2000. Logo, se duas vezes z é igual a dois mil, então temos que z = 1000. Com essas informações, podemos dizer que as outras duas partes, juntas, vale o mesmo que a parte maior como sugere o problema.

Aula 2 - Lógica Matemática e Linguagem Cotidiana II


Na segunda parte da aula que faz a relação da matemática com a linguagem cotidiana, o professor nos remete a mais uma situação problema:
P2 – Situação Problema: Temos 24m (lineares de uma tela para fazer um cercado retangular. A área limitada deve ser igual a 32m2. É possível construir tal cercado? Em caso afirmativo, quais os lados do retângulo? Qual o retângulo de maior área possível que pode ser delimitado?
Aqui, temos dois dados importantes:
e

A pergunta é se o cumprimento da cerca é suficiente para delimitar uma área de 32m2. A partir daí, podemos entender que por um lado, 2x + 2y deve ser igual a 24 e por outro lado x.y deve ser igual a 32. Então:


Esse caso traz duas soluções, onde x = 4 e x = 8. Ficou claro que deve-se ter uma clara interpretação da linguagem para a transformação do problema em soluções viáveis para a construção da equação usando as técnicas matemáticas.
Nessa mesma aula, foi falado mais um pouco sobre a lógica, onde mostra que a argumentação é a ideia central que defende com sentenças de proposições verdadeiras ou falsas. Para exemplificar, o professor dá um exemplo de uma preposição onde só se aceita a verdade.

“Todos os Afaneus são Zaragós,
Todos os Zaragós são Chumpitazes
Logo, todos os Afaneus são Chumpitazes.”


Aula 3 - Números: Uma visão Histórica


Nessa aula, o professor entrou no contexto histórico dos números mostrando os conjuntos dos números inteiros, reais, racionais, irracionais e complexos, e mostrando a relação que esses conjuntos tem uns com os outros na hora de se dividir os conceitos lógicos das famílias numerais.
Os conjuntos de números são representados por letras maiúsculas do alfabeto como mostrado na figura abaixo:

No vídeo o professor também responde a algumas questões sobre esses números:
Quantos números primos existem?
Para responder a essa questão, o professor explica logicamente que se o conjunto dos números naturais é composto por infinitos elementos, os conjuntos dos números primos que constituem um subconjunto dos números naturais também deve pertencer a um conjunto infinito de elementos. Mas o exemplo apresentado nos traz dúvida:

            De 1 a 1000 existem 168 números primos;
            Entre 1000 e 2000 existem 135 números primos;
            Entre 2000 e 3000 existem 127 números primos;
            Entre 3000 e 4000 existem 120 números primos;
            Entre 4000 e 5000 existem 119 números primos...

Por conta disso, Euclides, desenvolveu um importante teorema que diz que:
Tomando-se L, uma lista finita qualquer de números primos: 

Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. Da seguinte maneira:
Sendo P o produto de todos os números primos na lista:

E sendo
 

Então, q pode ser primo ou não:
Se q é primo então há pelo menos um número primo a mais que não está listado.
Se q não é primo, então algum fator primo p divide q. Esse fator p não está na nossa lista L: se estivesse, ele dividiria P (pois P é o produto de todos os número na lista); mas como sabemos, p divide P + 1 = q. Então, para não deixar resto, p teria que dividir a diferença entre os dois números, que é (P + 1) − P ou seja, 1. Mas não existe número primo que divida 1, assim haveria uma contradição, logo, p não pode estar na lista. Isso significa que pelo menos mais um número primo existe além dos que estão na lista.
Isso prova que para qualquer lista finita de números primos, há um número primo que não está na lista. Portanto, existem infinitos números primos.

É muitas vezes erroneamente relatado que Euclides provou esse resultado por contradição, iniciando pela suposição de que o conjunto inicialmente considerado contém todos os números primos, ou que contém precisamente os n menores primos, ao invés de qualquer conjunto finito arbitrário de números primos.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides

È possível saber se a representação decimal de 1/7 é dizima periódica sem efetuar a divisão?
Essa segunda pergunta que diz respeito ao conjunto dos números racionais, o professor fala sobre a diferença dos decimais finitos e as dizimas periódicas como resultado de uma divisão, propondo ainda que fosse possível descobrir a resposta à essa pergunta sem necessariamente efetuar a divisão, quando se descobre que ao realizar a fatoração do numero em questão resulta em potencia de 2, 5 ou ambos, ou seja, nas potencias de 10 sempre se encontra fatores 2 e 5 com o mesmo expoente. Ex: Fator de 10 = 2*5, fator de 100 = 22*52, fator de 20 = 22*51.

Nesse último caso, como não temos expoentes iguais no denominador, então nós podemos ter certeza que a representação decimal desse número é finita e não com dizima periódica como no exemplo representado pela figura abaixo:
Fonte da Imagem

Se PI é a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, por que não é racional?
Para responder a essa questão, o professor nos mostrou que o PI, razão entre a circunferência e o seu diâmetro (duas vezes o raio) é um número irracional e constante. Se ele é irracional, ele “não pode” ser escrito em forma de fração com numerador e denominador inteiros, mas o mesmo PI já vem de um quociente entre o cumprimento e o diâmetro de uma circunferência. 


Aula 4 - Números na Arte e na Natureza


Nessa aula, é discutida a importância e uso de dois números irracionais:
 e 
Pegando como exemplo as proporções de uma folha de papel A4 comum, o professor nos mostra a importância de se ter medidas como 210mm x 297mm por exemplo, quando ele nos mostra que dois retângulos não são semelhantes quando ele não apresenta as mesmas proporções de menor lado com menor lado e maior lado com maior lado.
Por outro lado, ao se dividir 297 por 210, obtêm-se 1,4142857142.... que até a quarta casa decimal representa exatamente os mesmos 1,4142, valor do resultado da raíz de dois. Portanto, a folha de papel A4 atende essa característica que quando dobrado ao meio, gera um retângulo semelhante ao retângulo original.

O mesmo ocorre com outros formatos de folha da série “A” como mostrado na figura abaixo:

Também é explicada a relação entre a Sequência de Fibonacci e a Razão Áurea. Fibonacci provou em sua teoria que a partir do terceiro termo, cada número é obtida pela soma dos dois anteriores. Essa sequência logo foi chamada de Sequência de Fibonacci e essa mesma sequência, apresenta um fato curioso, pois se pegarmos os números da sequência a partir do segundo número e dividirmos pela própria sequência a partir do primeiro número, vamos obter valores que convergem para o número 1,6180, ou seja, o número de ouro.
Fonte da Imagem


Aula 5 - Geometria: Medidas, Áreas e Volumes I


Nessa aula, iniciou-se uma abordagem em torno da geometria espacial e da geometria plana. E para introduzir-nos no tema, o professor nos remete ao Egito Antigo onde ele faz comparações com a Pirâmide, o Deserto e o Rio Nilo.
A palavra geometria vem do Grego “Geo” (terra) e “Metria” (medida), ou seja “Medida da Terra” e junto a essa questão que era de medir as figuras geométricas planas como os terrenos nas margens do Rio Nilo que eram apagadas com as épocas de cheia do rio, também temos os exemplos das grandes pirâmides que é apenas uma amostra da engenharia e da matemática desse povo. Diferentemente das escolas, onde se é habitualmente ensinado que a geometria plana é diferente e não tem nenhuma relação com a geometria espacial, foi nos mostrado que sim elas estão conceitualmente ligadas uma a outra.
Cavalieri, propôs que as figuras planas fossem vistas por outro ângulo como “linhas” que quando empilhadas, formassem uma figura espacial. Daí o conceito de que várias figuras planas juntas, pode se formar uma figura espacial (tenha um baralho como um exemplo prático). Assim também se formou o princípio de que o volume desse mesmo prisma, se dá pela área da base (face do baralho), multiplicado pela altura (empilhamento das cartas). O mesmo entendimento pode ser utilizado para o caso de um prisma oblíquo:

Abaixo, vamos observar que os prismas e as pirâmides se classificam de acordo com o polígono (do Grego “muitos” (poly) e “ângulos” (gon), é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, o hexágono é um polígono de seis lados) da base. Na imagem abaixo, poderemos observar melhor a diferença entre os prismas e as pirâmides para que não haja nenhuma confusão:
Fonte da Imagem

Também foi comentado na aula sobre o prisma de base pentagonal como podemos observar abaixo:

E por último o professor também exemplificou como é dado o cálculo de área de uma das formas. Vejamos na imagem abaixo, uma tabela com algumas das formas e suas respectivas fórmulas.


Aula 6 - Geometria: Medidas, Áreas e Volumes II


Nessa aula, se estudou mais sobre as figuras da pirâmides e dos cones, mais uma vez, comparando com exemplos reais como as pirâmides do Egito e os chapeuzinhos de festa respectivamente.
O mesmo fenômeno do empilhamento para determinar o volume é dado (ver aula anterior), mas dessa vez com uma ocorrência diferente. A medida que essas formas vão sendo empilhadas, vai se diminuindo a base gradativamente de forma que a forma vá se afunilando. Veja a imagem abaixo:
Fonte da Imagem

Foi falado sobre os elementos que consistem a figura da pirâmide, de tal forma que ele possa ser calculado em toda a sua dimensão:

Altura de uma pirâmide é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base. À altura de cada uma das faces laterais chama-se apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base.

Assim como no exemplo dos prismas, também se falou sobre a planificação das pirâmides, onde ocorre a conversão de uma figura espacial com volume sólido para a figura plana:

As pirâmides regulares Altura de uma pirâmide é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base. À altura de cada uma das faces laterais chama-se apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base.
E os triângulos podem ter suas áreas medidas com fórmulas simples, seja lá qual for o tipo desse triângulo:

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:

1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".

Aula 7 - Álgebra: Uma Introdução I



No que foi chamado de “Iniciação a Álgebra”, o professor inicia nos ensinando que ao pensar em álgebra, é comum pensarmos em “x”, em “y” e por isso o tema dessa aula é estabelecer uma boa relação entre as letras e os números. Para isso, são estabelecidos cinco níveis, a saber:
  • Grandezas (contagem, medida) – São como nos exemplos do dia a dia que temos diversos exemplos como, uma dúzia de ovos, meia dúzia de bananas, 50m2 de área construída, 3/8 de pizza, população do mundo em torno de 7,2 bilhões de pessoas;
  • Aritmética (propriedades) – Inicia-se um interesse em lidar com a natureza dos números que independem dessa representação imediata como números pares e impares por exemplo. Números primos, números decimais, reais, assim como outros;
  • Generalizações locais (letras) – As generalizações começam a ocorrer quando a ideia a se passar não está relacionada com valores específicos e sim com conceitos, por exemplo “a área do retângulo é igual a base vezes a altura” (A = b*h), “a área do triângulo é igual a base vezes a altura dividido por dois” (A = (b*h)/2 e “a área do círculo é igual a PI vezes o raio ao quadrado (π*r2);
  • Equações e Inequações (técnicas) – a matemática muitas vezes trabalha com sentenças declarativas. Por exemplo, “qual é o número que somado com 7 da onze?” (x + 7 = 11). Em outras palavras, equações e inequações podem ser entendidas como perguntas, enquanto que a álgebra pode ser entendida como a engenharia reversa que remonta essas equações. Grande parte das técnicas algébricas, virão em função da resolução de equações ou de inequações que não trabalha com sinais de igualdade, por exemplo “quando que x + 2 é menor que 7?’ (x + 2 < 7);
  • Generalizações estruturais – Esse nível de generalização atinge uma visão macro do problema. Um conjunto algébrico é um conjunto cujos elementos apresentam certas propriedades operatórias, podendo ser em forma de grupo, anel e corpo. O conjunto dos números inteiros, por exemplo, é “parecido” com o conjunto dos polinômios do ponto de vista estrutural (anel).
Aula 8 - Álgebra: Uma Introdução I


Essa é uma continuação da aula anterior e por conta disso, o professor da seguimento a aula falando um pouco mais sobre as técnicas de equações e inequações existentes e sobre as generalizações estruturais.
Para falar sobre as equações, foram vistos um conjunto de propriedades que nos faz refletir sobre a manutenção dessas equações e a maneira como se estabelece as conexões entre as partes algébricas. Por exemplo:
  • Se a = b, então a + c = b + c;
  • Se a = b, então a - c = b - c;
  • Se a = b, então a * c = b * c;
  • Se a = b, c ≠ 0, então a / c = b / c;
  • Se a > b, então a + c > b + c;
  • Se a > b, c > 0, então ac = bc;
A partir da lógica desses conceitos, é possível entendermos melhor as fórmulas:
Equações de 1º grau:
ax + b = 0
x = -b/a
Equações do 2º grau:
Ax2 + bx + c = 0
A * (x – r1) * (x – r2) = 0
Equações do 3º grau:
Ax3 + bx2 + cx + d = 0
A * (x – r1) * (x – r2) * (x – r3) = 0
Fatoração:
X2 – y2 = (x + y) * (x – y)
X2 – 9 = 0

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
X2 + 9 + 2 * 3 * x = 25
1 + 9x2 + 2 * 1 * 3x = 25

Assim, temos alguns conceitos plenamente definidos:
Equações do 2º grau – Sempre é possível fatorar e chegar as duas raízes (através da fórmula de Baskara), que podem ser números reais ou complexos;

Equações do 3º e do 4º graus – Existem algumas fórmulas como a de Baskara, que são de pouco significado prático, em razão da complexidade;

Equações do 5º grau em diante – Não existem fórmulas como a de Baskara, a resolução segue por outros caminhos. Relações entre coeficientes e raízes e fatoração, são recursos importantes.

Resumindo, a álgebra trata da representação de equações e operações com números e aos poucos vai se tornando a generalização daquilo que fazíamos com números específicos. Esse é o sentido de representações genéricas que são associados a álgebra.




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